Главная

Определение.

Числовой матрицей размера (m х n) называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из n строк и m столбцов:

где i - первый индекс, показывающий номер строки, а j - второй индекс указывает на номер столбца.
Строки и столбцы матрицы называются ее рядами.

Действия над матрицами.

Сложение (вычитание) матриц.

Правило: для того, чтобы сложить (вычесть) две матрицы, нужно сложить (вычесть) их соответствующие элементы (т.е. элементы, стоящие на одинаковых местах в обеих матрицах).

Очевидно, что складывать и вычитать можно только матрицы одного размера.

Умножение матрицы на число.

Правило: Для того, чтобы умножить (разделить) матрицу на отличное от нуля число, нужно умножить (разделить) на это число все элементы этой матрицы.

Аналогично можно определить обратное действие - вынесение общего множителя из всех элементов матрицы за знак матрицы.

Произведение матриц.

Пусть даны матрицы А размера (m x n) и В размера (n x p) и требуется найти их произведение матрицу С=А*В.

Умножение матриц возможно, если число столбцов n матрицы А равно числу строк n матрицы В. Или: число элементов в строке матрицы А должно равняться числу элементов в столбце матрицы В. Полученная в результате умножения матрица С будет иметь размер (m x p), т.е. в матрице С столько строк, сколько их в первой матрице А и столько столбцов, сколько их во второй матрице В.

Формально это можно записать так:

Внутренние числа должны быть одинаковыми, это указывает на возможность умножения, а внешние числа дают размер матрицы С. Не следует забывать, что в общем случае АВ =/ ВА, т.е. нельзя переставлять сомножители в произведении.

Правило умножения: Элемент Cij ; стоящий в строке с номером i и столбце с номером j в матрице С равен сумме произведений элементов строки с номером i первой матрицы А на соответствующие элементы столбца с номером j второй матрицы В.

Обратная матрица

Определение. Матрица А называется обратной для невырожденной матрицы А, если произведение матриц А и А~1 равно единичной матрице

Итак, обратная матрица существует, если исходная матрица квадратная и имеет отличный от нуля определитель.

Схема нахождения обратной матрицы.

Вычисляем определитель матрицы А. Если det А =/ 0, делаем вывод, что обратная матрица существует.
Составляем союзную матрицу А*, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов исходной матрицы.
Полученную матрицу транспонируем, получаем матрицу А*Т
Все элементы матрицы А*т делим на величину определителя матрицы А